Title: АиГ

0 Вопрос. (необязательно) Бинарные отношения.

0 Вопрос. (необязательно) Свойства однородных бинарных отношений.

1 Вопрос. Отношение эквивалентности.

1 Вопрос. Свойства классов эквивалентности.

1 Вопрос. Теорема о разбиении множества с заданным отношением эквивалентности.

1 Вопрос. Обратная теорема о разбиении множества с заданным отношением эквивалентности.

1 Вопрос. Первый основной пример отношений эквивалентности (свободный вектор, как класс эквивалентности отношения конгруэнтности на множестве связанных векторов евклидова пространства).

1 Вопрос. Второй основной пример отношений эквивалентности (вычет, как класс эквивалентности отношения сравнимости по mod n на множестве целых чисел).

2 Вопрос. Определение группы.

2 Вопрос. Определение аддитивной Абелевой группы.

2 Вопрос. Определение мультипликативной Абелевой группы.

3 Вопрос. Основные примеры: числовые множества относительно операций сложения

3 Вопрос. Основные примеры: числовые множества относительно операций умножения

3 Вопрос. Основные примеры: группа свободных векторов по сложению

3 Вопрос. Основные примеры: матричные группы (полная линейная группа)

3 Вопрос. Основные примеры: матричные группы (специальная линейная группа)

3 Вопрос. Основные примеры: матричные группы (ортогональная группа)

3 Вопрос. Основные примеры: матричные группы (специальная ортогональная группа)

4 Вопрос. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Определение

4 Вопрос. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Свойства

5 Вопрос. Признаки коллинеарности и компланарности геометрических векторов. Определения

5 Вопрос. Признаки коллинеарности и компланарности геометрических векторов. Свойства

6 Вопрос. Определение. Векторное (линейное пространство)

6 Вопрос. Разложение вектора на плоскости и в пространстве.

6 Вопрос. Базис на плоскости, в пространстве.

6 Вопрос. Координаты, действия с векторами в координатах.

7 Вопрос. Признаки коллинеарности векторов в координатах.

7 Вопрос. Признаки компланарности векторов в координатах.

7 Вопрос. Радиус-вектор точки.

7 Вопрос. Деление отрезка в данном отношении.

8 Вопрос. Скалярное произведение векторов

8 Вопрос. Скалярное произведение векторов. Формальные свойства.

8 Вопрос. Скалярное произведение векторов. Геометрические свойства.

9 Вопрос. Вспом. Опр.

9 Вопрос. Численное значение проекции вектора на вектор.

9 Вопрос. Выражение скалярного произведения в координатах.

9 Вопрос. Применение скалярного произведения в геометрии.

22 Вопрос. Формулы преобразования координат точки в аффинной системе координат.

23 Вопрос. Основные формулы аналитической геометрии. Вектор, определяемый двумя точками.

23 Вопрос. Основные формулы аналитической геометрии. Расстояние между двумя точками.

Q: 23 Вопрос. Основные формулы аналитической геометрии. Деление отрезка в данном отношении.
A: Пусть на плоскости или в пространстве дан отрезок с началом A и концом B. C — точка прямой AB, отличная от B.
Говорят, что точка C делит отрезок в отношении λ, если выполняется равенство AC(--→) = λCB(--→).
Точка C делит отрезок AB на плоскости или в пространстве ⇔

Q: 23 Вопрос. Основные формулы аналитической геометрии. Площадь треугольника.
A: Пусть на плоскости дан треугольник ABC. Площадь треугольника ABC на плоскости в аффинной системе координат определяется формулой
,
где g — дискриминант метрических параметров базиса системы координат.
В декартовой системе координат
S△ =
Площадь треугольника ABC в пространстве в декартовой системе координат

Q: 23 Вопрос. Основные формулы аналитической геометрии.
A: Пусть в пространстве дан тетраэдр SABC.
Объем тетраэдра в пространстве в аффинной системе координат
,
где g — дискриминант метрических параметров базиса.
Объем тетраэдра в декартовой системе координат:
V_T =

Q: 24 Вопрос. Основная теорема о прямой на плоскости
A: Каждая прямая на плоскости является фигурой первого порядка и обратно, каждая фигура первого порядка на плоскости является прямой. Другими словами, на плоскости множество всех прямых и множество всех фигур первого порядка совпадают.

Q: 25 Вопрос. Условие параллельности вектора и прямой на плоскости.
A: Пусть на плоскости заданы вектор u(→) своими координатами и прямая l общим уравнением в аффинной системе координат Ax + By + C = 0. Тогда
 u(→)  || l ⇔ Au_1 + Bu_2 = 0.
Доказательство. Согласно доказательству второй части основной теоремы о прямой на плоскости, вектор a(→)(−B, A) является направляющим для l. Учитывая это и условие коллинеарности векторов в координатах, получим:

Q: 26 Вопрос. Основные виды уравнений прямой на плоскости.
A: Общее уравнение. Ax + By + C = 0 (A^2 + B^2 != 0) Вектор  a(→)(−B, A) является направляющим вектором этой прямой.
Каноническое уравнение. Задается через точку M_0(x_0, y_0) и направляющий вектор a(→)(a_1, a_2) в аффинной системе координат. Точка M(x, y) лежит на прямой ⇔
Уравнение, заданное через две точки M_1(x_1, y_1) и M_2(x_2, y_2):
Параметрические уравнения прямой. Задается через точку M_0(x_0, y_0) и направляющий вектор a(→)(a_1, a_2) в аффинной системе координат. Точка M(x, y) лежит на прямой ⇔
Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Задается точкой M_0(x_0, y_0) и угловым коэффициентом k и имеет вид
y − y_0 = k(x − x_0)

10 Вопрос. Определение. Одинаково ориентированные базисы для плоскости и пространства.

10 Вопрос. Определение. Неодинаковая ориентированность.

10 Вопрос. Определение. Ориентация.

10 Определение. Свойства. свойства ориентации плоскости и пространства.

10 Вопрос. Определение. Ориентированная плоскость и ориентированное пространство.

11 Вопрос. Определение. Векторное произведение.

11 Вопрос. Свойства. свойства Векторного произведения.

12 Вопрос. определение. Смешанное произведение векторов.

12 Вопрос. Свойства. Смешанного произведения.

13 Вопрос. Определение. Кольцо и его виды.

13 Вопрос. Определение. Поле.

13 Вопрос. Определение. Подгруппа.

13 Вопрос. Определение. Подкольцо.

13 Вопрос. Определение. Подполе.

13 Вопрос. Определение. Кольцо вычетов по модулю n. Операции сложения, умножения. (Не учите слово в слово, прошу)

14 Вопрос. Теорема. Условие, при котором кольцо вычетов является полем.

15 Вопрос. Определение. Характеристика поля.

15 Вопрос. Определение. гомоморфизма, биекции, изоморфизма и автоморфизма для групп, полей и колец.

15 Вопрос. Пример. Изоморфизма групп и полей.

16 Вопрос. Поле комплексных чисел. Теорема о существовании и единственности поля комплекс-
ных чисел

17 Вопрос. Определение. Тригонометрическая форма представления комплексного числа.

17 Вопрос. Теорема. Формула Муавра

18 Вопрос. Теорема. Извлечение корней из комплексного числа.

19 Вопрос. Определение. Алгебра над полем

19 Вопрос. Пример. Алгебра геометрических векторов.

19 Вопрос. Пример. Алгебра матриц

19 Вопрос. Пример. Алгебра кватернионов.

20 Вопрос. Определение. Система координат. пример. векторные и арифметические

20 Вопрос. Определение. аффинные и декартовы системы координат.

21 Вопрос. Определение. Полярная система координат.

27 Вопрос. Расположение точек относительно прямой на плоскости.

28 Вопрос. Взаимное расположение прямых на плоскости.

29 Вопрос. Угловой коэффициент прямой на плоскости.

30 Вопрос. Условие перпендикулярности вектора и прямой.

31 Вопрос. Угол между прямыми на плоскости.

32 Вопрос. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

33 Вопрос. Основная теорема о плоскости в пространстве.

34 Вопрос. Теорема. Условие параллельности вектора и плоскости.

34 Вопрос. свойство. исследование общего уравнения плоскости.

35 Вопрос. Теорема. Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

36 Вопрос. Теорема. Расположение точек относительно плоскости в пространстве.

37 Вопрос. основные виды уравнений плоскости в пространстве в аффинных и декартовых координатах

38 Вопрос. Теорема. Основная теорема о прямой в пространстве.

39 Вопрос. Теорема. Условие параллельности вектора и прямой в пространстве.

40 Вопрос. Теорема. Основные виды уравнений прямой в пространстве в аффинных и декартовых координатах.

41 Вопрос. Теорема. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости в пространстве.

42 Вопрос. Теорема. угол между прямыми в пространстве

42 Вопрос. Теорема. угол между плоскостями в пространстве

42 Вопрос. Теорема. угол между прямой и плоскостью в пространстве

43 Вопрос. Теорема. Расстояние от точки до плоскости в пространстве

43 Вопрос. Теорема. Расстояние от точки до прямой в пространстве

44 вопрос. Теорема. Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми.